z-Wert-Rechner (Standardnormalverteilung)
Der Rechner standardisiert einen Wert einer normalverteilten Größe zum z-Wert und berechnet die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Er bestimmt auch die Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Grenzen und umgekehrt den Wert zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit.
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- Ohne Anmeldung
- Mit Rechenweg
- Quellen genannt
Ergebnis
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Anleitung
So nutzen Sie den Rechner
- Wählen Sie "z-Wert und Wahrscheinlichkeit", "Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Werten" oder "Wert zu einer Wahrscheinlichkeit".
- Geben Sie Mittelwert μ und Standardabweichung σ ein. Für die Standardnormalverteilung ist μ = 0 und σ = 1.
- Sie erhalten z, die Wahrscheinlichkeiten und den Rechenweg.
Formel und Rechenweg
So rechnet der Rechner
z = (x − μ) / σ
- x ist der Messwert, μ der Mittelwert, σ die Standardabweichung.
- Der z-Wert sagt, um wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt.
Aus z berechnet der Rechner die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Φ(z) = P(Z ≤ z), also den Anteil der Werte unterhalb von x. Der Anteil oberhalb ist 1 − Φ(z).
Φ wird numerisch über die Fehlerfunktion berechnet, mit einer Genauigkeit, die für vier Nachkommastellen sicher reicht. Für das Quantil (Wert zu einer Wahrscheinlichkeit) nutzt der Rechner eine rationale Näherung mit einem Korrekturschritt.
Zahlen zum Vergleichen
Beispiele und Richtwerte
Intelligenztest mit μ = 100 und σ = 15: Welcher Anteil liegt unter 130? z = (130 − 100) / 15 = 2. Φ(2) = 0,9772, also liegen 97,72 % darunter und 2,28 % darüber.
Zwischen 85 und 115: Φ(1) − Φ(−1) = 0,6827. Rund 68 % der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert.
Wert zu einer Wahrscheinlichkeit: Ab welchem Wert gehört man zu den oberen 5 %? Φ⁻¹(0,95) = 1,6449, x = 100 + 1,6449 · 15 = 124,67.
Bekannte Werte der Tabelle: Φ(1,96) = 0,9750 und Φ(1) = 0,8413.
Gut zu wissen
Regeln, Grenzen und Begriffe
- Die Berechnung setzt voraus, dass die Größe normalverteilt ist. Ob das für Ihre Daten zutrifft, prüft der Rechner nicht.
- Die Standardabweichung muss größer als 0 sein, die Wahrscheinlichkeit beim Quantil zwischen 0 und 1 liegen.
- Wahrscheinlichkeiten werden auf vier Nachkommastellen gerundet angezeigt.
- Hinweis: Der "Z-Wert" einer Skibindung ist etwas anderes, nämlich die Einstellung der Auslösehärte. Sie wird von einer Fachwerkstatt nach Herstellerangaben und Norm eingestellt, nicht mit diesem Rechner.
Glossar
- z-Wert
- Der Abstand eines Werts vom Mittelwert, gemessen in Standardabweichungen.
- Standardnormalverteilung
- Die Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1.
- Standardabweichung
- Das Maß für die Streuung der Werte, die größer als 0 sein muss.
- Quantil
- Der Wert, unter dem ein gegebener Anteil der Verteilung liegt.
Fragen und Antworten
Häufige Fragen
Was sagt ein z-Wert von 2 aus?
Der Wert liegt zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert. Bei einer Normalverteilung liegen etwa 97,7 % der Werte darunter.
Wie lese ich eine z-Tabelle?
Die Tabelle gibt Φ(z) an, den Anteil der Werte unter z. Der Rechner ersetzt das Ablesen und arbeitet mit beliebigen Nachkommastellen.
Wann ist z negativ?
Wenn der Wert unter dem Mittelwert liegt. Φ(−z) = 1 − Φ(z).
Wann darf ich den z-Wert verwenden?
Die Berechnung setzt voraus, dass die Größe normalverteilt ist. Ob das für Ihre Daten zutrifft, prüft der Rechner nicht.
Nachprüfbar
Quellen und Stand
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.1 Normal Distribution. www.itl.nist.gov
- KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (Beschluss vom 18.10.2012). www.kmk.org
Änderungsprotokoll
- Werte und Quellen geprüft, Seite im neuen Layout veröffentlicht.