Integralrechner

Der Integralrechner bestimmt die Stammfunktion (das \"Aufleiten\") einer Funktion und berechnet bestimmte Integrale zwischen zwei Grenzen. Gibt es keine einfache Stammfunktion, berechnet er das bestimmte Integral numerisch.

Kostenlos
Ohne Anmeldung
Mit Rechenweg
Quellen genannt

Ergebnis

Tragen Sie Ihre Werte ein, das Ergebnis erscheint hier.

Anleitung

So nutzen Sie den Rechner

Geben Sie die Funktion mit der Variablen x ein, zum Beispiel 3x^2 - 4x + 1.
Für die Stammfunktion wählen Sie "unbestimmtes Integral".
Für eine Fläche oder einen Wert wählen Sie "bestimmtes Integral" und geben die Grenzen a und b ein.

Formel und Rechenweg

So rechnet der Rechner

Stammfunktion: F ist eine Stammfunktion von f, wenn F' = f gilt. Alle Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante, daher steht + C am Ende.

Funktion f(x)	Stammfunktion F(x)
x^n (n ≠ −1)	x^(n+1) / (n + 1)
1/x	ln\|x\|
e^(ax+b)	e^(ax+b) / a
sin(ax+b)	−cos(ax+b) / a
cos(ax+b)	sin(ax+b) / a
1 / (1 + x²)	atan(x)

Summen, konstante Faktoren und Polynome werden gliedweise integriert. Der Rechner prüft jede gefundene Stammfunktion, indem er sie wieder ableitet und mit f vergleicht.

Bestimmtes Integral: ∫ von a bis b f(x) dx = F(b) − F(a). Ohne Stammfunktion rechnet der Rechner numerisch mit der adaptiven Simpson-Regel. In beiden Fällen wird das Ergebnis zusätzlich numerisch kontrolliert.

Zahlen zum Vergleichen

Beispiele und Richtwerte

Stammfunktion eines Polynoms: f(x) = 3x² − 4x + 1 F(x) = x³ − 2x² + x + C

Bestimmtes Integral: ∫ von 0 bis 1 x² dx F(x) = x³/3, F(1) − F(0) = 1/3

Sinus: ∫ von 0 bis π sin(x) dx = −cos(π) + cos(0) = 2

Exponentialfunktion: f(x) = e^(2x), F(x) = e^(2x) / 2 + C

Numerisch: ∫ von 0 bis 1 e^(−x²) dx ≈ 0,746824. Für e^(−x²) gibt es keine Stammfunktion aus elementaren Funktionen.

Gut zu wissen

Regeln, Grenzen und Begriffe

Stammfunktionen findet der Rechner für die Funktionsklassen in der Tabelle, für Summen und konstante Vielfache davon und für Polynome. Produkte wie x · e^x (partielle Integration) und Verkettungen mit nichtlinearer innerer Funktion löst er nicht symbolisch. Das bestimmte Integral berechnet er dann numerisch, zum Beispiel ∫ von 0 bis 1 x · e^x dx = 1.
Ist die Funktion im Intervall nicht definiert, etwa 1/x auf einem Intervall, das 0 enthält, gibt der Rechner kein Ergebnis aus.
Vertauschte Grenzen ändern das Vorzeichen: ∫ von 1 bis 0 x² dx = −1/3.
Ein bestimmtes Integral ist eine orientierte Fläche. Teile unterhalb der x-Achse zählen negativ.

Glossar

Stammfunktion: Eine Funktion F, deren Ableitung die gegebene Funktion f ist.
Bestimmtes Integral: Der Wert des Integrals zwischen einer unteren und einer oberen Grenze.
Integrationskonstante C: Die Konstante, die bei der Stammfunktion hinzukommt, weil viele Stammfunktionen dieselbe Ableitung haben.
Adaptive Simpson-Regel: Ein numerisches Verfahren, mit dem der Rechner bestimmte Integrale ohne Stammfunktion berechnet.

Fragen und Antworten

Häufige Fragen

Was bedeutet "aufleiten"?

Umgangssprachlich das Bilden einer Stammfunktion, also die Umkehrung des Ableitens.

Warum steht + C hinter der Stammfunktion?

Weil die Ableitung einer Konstanten 0 ist. x³/3 und x³/3 + 5 haben beide die Ableitung x².

Wie berechne ich die Fläche zwischen Graph und x-Achse?

Bestimmen Sie die Nullstellen im Intervall und integrieren Sie abschnittsweise. Die Beträge der Teilintegrale ergeben zusammen die Fläche.

Was passiert, wenn ich die Grenzen vertausche?

Vertauschte Grenzen ändern das Vorzeichen: ∫ von 1 bis 0 x² dx = −1/3.

Nachprüfbar

Quellen und Stand

KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (Beschluss vom 18.10.2012). www.kmk.org
MIT OpenCourseWare: 18.01SC Single Variable Calculus. ocw.mit.edu

Änderungsprotokoll

03.10.2026Werte und Quellen geprüft, Seite im neuen Layout veröffentlicht.