Ableitungsrechner
Der Ableitungsrechner leitet eine Funktion f(x) ab und zeigt die erste, zweite oder dritte Ableitung. Er nennt die verwendeten Ableitungsregeln und berechnet auf Wunsch den Wert der Ableitung an einer Stelle.
- Kostenlos
- Ohne Anmeldung
- Mit Rechenweg
- Quellen genannt
Ergebnis
Tragen Sie Ihre Werte ein, das Ergebnis erscheint hier.
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Anleitung
So nutzen Sie den Rechner
- Geben Sie die Funktion mit der Variablen x ein, zum Beispiel
x^3 + 2x^2 - 5x + 1odersin(2x). - Wählen Sie die 1., 2. oder 3. Ableitung.
- Optional: Geben Sie eine Stelle ein, an der die Ableitung ausgewertet werden soll.
Schreibweisen: ^ für Potenzen, * oder Leerstelle für Mal (2x ist erlaubt), sqrt() oder √ für Wurzeln, e^x oder exp(x), ln() für den natürlichen und lg() für den Zehnerlogarithmus.
Formel und Rechenweg
So rechnet der Rechner
Der Rechner leitet symbolisch ab, also mit Formeln und nicht nur mit Zahlenwerten. Er verwendet diese Regeln:
| Regel | Formel |
|---|---|
| Potenzregel | (x^n)' = n · x^(n−1) |
| Faktorregel | (c · f)' = c · f' |
| Summenregel | (f + g)' = f' + g' |
| Produktregel | (f · g)' = f' · g + f · g' |
| Quotientenregel | (f / g)' = (f' · g − f · g') / g² |
| Kettenregel | f(g(x))' = f'(g(x)) · g'(x) |
Grundableitungen: (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x, (√x)' = 1/(2√x).
Zur Kontrolle vergleicht der Rechner jede Ableitung an mehreren Stellen mit dem Differenzenquotienten. Stimmen die Werte nicht überein, wird kein Ergebnis angezeigt.
Zahlen zum Vergleichen
Beispiele und Richtwerte
Polynom: f(x) = x³ + 2x² − 5x + 1 f'(x) = 3x² + 4x − 5 (Summen-, Potenz- und Faktorregel)
Produktregel: f(x) = x² · e^x f'(x) = 2x · e^x + x² · e^x
Kettenregel, zweite Ableitung: f(x) = sin(2x) f'(x) = 2cos(2x), f''(x) = −4sin(2x)
Quotientenregel: f(x) = (x² + 1) / (x − 1) f'(x) = (x² − 2x − 1) / (x − 1)²
Wert an einer Stelle: f(x) = ln(x), f'(x) = 1/x, f'(2) = 0,5
Gut zu wissen
Regeln, Grenzen und Begriffe
- Erlaubt ist die Variable x. Andere Buchstaben gelten nur als Funktionsnamen (sin, cos, tan, ln, lg, sqrt, exp, abs, asin, acos, atan) oder Konstanten (π, e).
- Das Ergebnis ist vereinfacht, aber nicht immer in der kürzesten Form. Polynome werden ausmultipliziert, Produkte bleiben als Summe der Produktregel stehen.
- Die Ableitung von |x| wird als x / |x| ausgegeben. Bei x = 0 ist sie nicht definiert.
- Höchstens 200 Zeichen und die 3. Ableitung.
Glossar
- Ableitung
- Die Änderungsrate einer Funktion, geometrisch die Steigung der Tangente.
- Produktregel
- Die Regel zum Ableiten eines Produkts zweier Funktionen.
- Quotientenregel
- Die Regel zum Ableiten eines Bruchs aus zwei Funktionen.
- Kettenregel
- Die Regel zum Ableiten verketteter Funktionen.
Fragen und Antworten
Häufige Fragen
Wann brauche ich die Kettenregel?
Wenn eine Funktion in einer anderen steckt, zum Beispiel sin(2x) oder e^(x²). Man leitet die äußere Funktion ab und multipliziert mit der Ableitung der inneren.
Was sagt die Ableitung aus?
Die Steigung der Funktion an jeder Stelle. Ist f'(x) = 0, hat der Graph dort eine waagerechte Tangente, zum Beispiel an einem Hoch- oder Tiefpunkt.
Wie leite ich e^x ab?
e^x bleibt beim Ableiten gleich. Mit innerer Funktion gilt die Kettenregel: (e^(2x))' = 2 · e^(2x).
Welche Variable und welche Funktionen sind erlaubt?
Erlaubt ist die Variable x. Andere Buchstaben gelten nur als Funktionsnamen wie sin, cos, tan, ln, lg und sqrt.
Nachprüfbar
Quellen und Stand
- KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (Beschluss vom 18.10.2012). www.kmk.org
- MIT OpenCourseWare: 18.01SC Single Variable Calculus. ocw.mit.edu
Änderungsprotokoll
- Werte und Quellen geprüft, Seite im neuen Layout veröffentlicht.