Grenzwertrechner
Der Grenzwertrechner bestimmt den Limes einer Funktion f(x), wenn x gegen eine Zahl, gegen +∞ oder gegen −∞ geht. Er unterscheidet links- und rechtsseitige Grenzwerte und zeigt, wie er zum Ergebnis kommt.
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Anleitung
So nutzen Sie den Rechner
- Geben Sie die Funktion mit der Variablen x ein, zum Beispiel
sin(x)/x. - Wählen Sie, wogegen x geht: eine Zahl, +∞ oder −∞.
- Wählen Sie bei einer Zahl die Richtung: beidseitig, von links oder von rechts.
Für Folgen geben Sie den Term mit x statt n ein und wählen +∞. Existiert der Grenzwert der Funktion, ist er auch der Grenzwert der Folge.
Formel und Rechenweg
So rechnet der Rechner
Der Rechner geht in dieser Reihenfolge vor:
- Einsetzen: Ist f an der Stelle definiert und stetig, ist der Grenzwert der Funktionswert.
- Regel von L'Hospital: Bei einem Quotienten im Fall 0/0 (oder ∞/∞ für x gegen Unendlich) leitet er Zähler und Nenner ab und versucht es erneut. Das liefert exakte Werte.
- Annäherung: In allen anderen Fällen nähert er sich der Stelle mit immer kleineren Abständen beziehungsweise immer größeren x. So erkennt er Konvergenz, Divergenz gegen ±∞ oder Schwanken. Diese Werte sind Näherungen und werden mit ≈ gekennzeichnet. Passt der Wert zu einer bekannten Zahl wie e oder π/2, nennt der Rechner sie als vermutlichen exakten Wert.
Beim beidseitigen Grenzwert prüft der Rechner beide Seiten. Sind sie verschieden, existiert der Grenzwert nicht.
Zahlen zum Vergleichen
Beispiele und Richtwerte
L'Hospital: lim sin(x)/x für x → 0 0/0, also (cos x)/1 ableiten, Einsetzen: 1
Zweimal L'Hospital: lim (1 − cos x)/x² für x → 0 = 1/2
Kürzen oder L'Hospital: lim (x² − 1)/(x − 1) für x → 1 = 2
Gegen Unendlich: lim (3x² + 1)/(x² − 5) für x → +∞ = 3
Eulersche Zahl: lim (1 + 1/x)^x für x → +∞ ≈ 2,718282, vermutlich e
Existiert nicht: lim 1/x für x → 0. Von links −∞, von rechts +∞, also kein beidseitiger Grenzwert.
Gut zu wissen
Regeln, Grenzen und Begriffe
- Exakte Ergebnisse gibt es beim Einsetzen und bei L'Hospital. Alle anderen Werte sind numerische Näherungen auf sechs Nachkommastellen.
- Sehr langsam konvergierende oder sehr schnell schwankende Funktionen können numerisch falsch eingeschätzt werden. Im Zweifel hilft eine Umformung von Hand.
- 0 hoch 0 wird als unbestimmt behandelt. lim x^x für x → 0 von rechts ergibt deshalb über die Annäherung ≈ 1.
- Ein "uneigentlicher Grenzwert" (+∞ oder −∞) heißt: Die Funktion wächst über alle Grenzen oder fällt unter alle Grenzen. Einen Grenzwert im engeren Sinn gibt es dann nicht.
Glossar
- Grenzwert (Limes)
- Der Wert, dem sich eine Funktion nähert, wenn x gegen eine Stelle oder gegen Unendlich geht.
- Regel von L'Hospital
- Eine Regel, mit der sich Grenzwerte unbestimmter Brüche über Ableitungen berechnen lassen.
- Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert
- Der Grenzwert, wenn man sich der Stelle von links oder von rechts nähert.
- Uneigentlicher Grenzwert
- Ein Grenzwert von +∞ oder −∞, bei dem die Funktion über alle Grenzen wächst oder fällt.
Fragen und Antworten
Häufige Fragen
Wann darf ich die Regel von L'Hospital anwenden?
Bei Quotienten, deren Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen ±∞ gehen. Dann darf man Zähler und Nenner getrennt ableiten.
Was ist der Unterschied zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert?
Beim linksseitigen nähert sich x von kleineren Werten, beim rechtsseitigen von größeren. Stimmen beide überein, existiert der beidseitige Grenzwert.
Was bedeutet "Limes"?
Limes ist das lateinische Wort für Grenze und die übliche Bezeichnung für den Grenzwert, abgekürzt lim.
Sind die Ergebnisse des Grenzwertrechners exakt?
Exakte Ergebnisse gibt es beim Einsetzen und bei L'Hospital. Alle anderen Werte sind numerische Näherungen.
Nachprüfbar
Quellen und Stand
- KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (Beschluss vom 18.10.2012). www.kmk.org
- MIT OpenCourseWare: 18.01SC Single Variable Calculus. ocw.mit.edu
Änderungsprotokoll
- Werte und Quellen geprüft, Seite im neuen Layout veröffentlicht.