Logarithmus-Rechner
Der Logarithmus-Rechner berechnet Logarithmen zu jeder Basis: den natürlichen Logarithmus ln, den Zehnerlogarithmus lg, den Zweierlogarithmus lb und log zu einer frei wählbaren Basis. Er löst außerdem Exponentialgleichungen der Form b hoch y = x.
- Kostenlos
- Ohne Anmeldung
- Mit Rechenweg
- Quellen genannt
Ergebnis
Tragen Sie Ihre Werte ein, das Ergebnis erscheint hier.
Rechenweg anzeigen
Anleitung
So nutzen Sie den Rechner
- Wählen Sie ln, lg, lb, eine eigene Basis oder "Exponentialgleichung lösen".
- Geben Sie x ein und bei Bedarf die Basis b.
- Das Ergebnis erscheint mit sechs Nachkommastellen und dem Rechenweg.
Formel und Rechenweg
So rechnet der Rechner
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welcher Zahl y muss man die Basis b potenzieren, um x zu erhalten?
log_b(x) = y bedeutet b^y = x
Der Rechner nutzt den Basiswechsel: log_b(x) = ln(x) / ln(b).
| Schreibweise | Basis |
|---|---|
| ln(x) | e = 2,71828... (natürlicher Logarithmus) |
| lg(x) | 10 |
| lb(x) | 2 |
| log_b(x) | beliebige Basis b |
Logarithmusgesetze:
- log_b(u · v) = log_b(u) + log_b(v)
- log_b(u / v) = log_b(u) − log_b(v)
- log_b(u^r) = r · log_b(u)
Zahlen zum Vergleichen
Beispiele und Richtwerte
log zur Basis 2 von 8: 2³ = 8, also 3.
lg(1.000): 10³ = 1.000, also 3.
ln(10) = 2,302585
log zur Basis 3 von 20: ln(20) / ln(3) = 2,995732 / 1,098612 = 2,726833
Exponentialgleichung: Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich ein Betrag bei 5 % Zinsen pro Jahr? 1,05^y = 2, also y = ln(2) / ln(1,05) = 14,21 Jahre.
Gut zu wissen
Regeln, Grenzen und Begriffe
- x muss größer als 0 sein. Für 0 und negative Zahlen ist der Logarithmus nicht definiert.
- Die Basis muss größer als 0 und ungleich 1 sein.
- Ergebnisse sind auf sechs Nachkommastellen gerundet. Ganze Ergebnisse wie lb(1.024) = 10 werden exakt angezeigt.
Glossar
- Logarithmus
- Der Exponent, mit dem man die Basis potenzieren muss, um die gegebene Zahl zu erhalten.
- Basis
- Die Zahl, die potenziert wird; sie muss größer als 0 und ungleich 1 sein.
- Natürlicher Logarithmus (ln)
- Der Logarithmus zur Basis e.
- Zehnerlogarithmus (lg)
- Der Logarithmus zur Basis 10.
Fragen und Antworten
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen ln und log?
ln hat die Basis e, lg die Basis 10. Auf vielen Taschenrechnern steht "log" für den Zehnerlogarithmus.
Wie berechne ich einen Logarithmus mit beliebiger Basis auf dem Taschenrechner?
Mit dem Basiswechsel: ln(x) / ln(b) oder lg(x) / lg(b). Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis.
Wofür braucht man Logarithmen im Alltag?
Zum Beispiel, um Zeiten bei Wachstum und Zinseszins zu berechnen, wie im Beispiel oben. Den passenden Rechner finden Sie unter Zinseszinsrechner.
Warum gibt es keinen Logarithmus von 0 oder negativen Zahlen?
x muss größer als 0 sein. Für 0 und negative Zahlen ist der Logarithmus nicht definiert.
Nachprüfbar
Quellen und Stand
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), § 4.2 Definitions (Logarithm, Exponential, Powers). dlmf.nist.gov
Änderungsprotokoll
- Werte und Quellen geprüft, Seite im neuen Layout veröffentlicht.