Gleichungsrechner & Gleichungssysteme
Der Gleichungsrechner löst lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen und lineare Gleichungssysteme mit zwei bis sechs Unbekannten. Jeder Umformungsschritt wird angezeigt.
- Kostenlos
- Ohne Anmeldung
- Mit Rechenweg
- Quellen genannt
Ergebnis
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Rechenweg anzeigen
Anleitung
So nutzen Sie den Rechner
- Wählen Sie lineare Gleichung, quadratische Gleichung oder Gleichungssystem.
- Geben Sie die Koeffizienten ein. Beim Gleichungssystem wählen Sie zuerst die Anzahl der Unbekannten und tragen dann je Zeile die Koeffizienten und die rechte Seite ein.
- Sie sehen die Lösung und die Umformungsschritte.
Formel und Rechenweg
So rechnet der Rechner
Lineare Gleichung a · x + b = c: x = (c − b) / a. Ist a = 0, gibt es keine oder unendlich viele Lösungen.
Quadratische Gleichung a · x² + b · x + c = 0: mit der Diskriminante D = b² − 4ac.
| Diskriminante | Lösungen |
|---|---|
| D > 0 | zwei Lösungen x = (−b ± √D) / (2a) |
| D = 0 | eine Lösung x = −b / (2a) |
| D < 0 | keine reelle Lösung; der Rechner zeigt die komplexen Lösungen |
Lineares Gleichungssystem: Gauß-Verfahren. Die Zeilen werden so umgeformt, dass in jeder Spalte nur noch ein Eintrag übrig bleibt. Damit es rechnerisch stabil bleibt, wird jeweils die Zeile mit dem betragsgrößten Eintrag nach oben getauscht (Spaltenpivotsuche). Der Rechner erkennt, ob es genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen gibt.
Zahlen zum Vergleichen
Beispiele und Richtwerte
Linear: 3x + 5 = 20 3x = 15, x = 5
Quadratisch: x² − 5x + 6 = 0 D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 1, x₁ = 3, x₂ = 2
Ohne reelle Lösung: x² + 2x + 5 = 0 D = −16, komplexe Lösungen x = −1 ± 2i
System mit zwei Unbekannten: x + y = 10 und x − y = 2 ergibt x = 6, y = 4.
System mit drei Unbekannten: x + y + z = 6, 2y + 5z = −4, 2x + 5y − z = 27 ergibt x = 5, y = 3, z = −2.
Gut zu wissen
Regeln, Grenzen und Begriffe
- Koeffizienten bis 1.000.000.000 mit bis zu sechs Nachkommastellen.
- Gleichungssysteme müssen quadratisch sein: so viele Gleichungen wie Unbekannte (2 bis 6).
- Gleichungen höheren Grades (x³ und höher) und nichtlineare Systeme löst der Rechner nicht.
- Sehr kleine Werte unter 10⁻¹⁰ werden als 0 behandelt, um Rundungsfehler der Computerarithmetik auszugleichen.
Glossar
- Lineare Gleichung
- Eine Gleichung der Form a · x + b = c.
- Quadratische Gleichung
- Eine Gleichung der Form a · x² + b · x + c = 0.
- Lineares Gleichungssystem (LGS)
- Mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten, die der Rechner mit dem Gauß-Verfahren löst.
- Koeffizient
- Die Zahl, mit der eine Unbekannte multipliziert wird.
Fragen und Antworten
Häufige Fragen
Wann hat ein Gleichungssystem keine Lösung?
Wenn sich beim Umformen ein Widerspruch wie 0 = 1 ergibt. Beispiel: x + y = 1 und 2x + 2y = 3.
Wann gibt es unendlich viele Lösungen?
Wenn eine Gleichung ein Vielfaches einer anderen ist, zum Beispiel x + y = 1 und 2x + 2y = 2.
Was ist die pq-Formel?
Eine Form der Lösungsformel für x² + px + q = 0: x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Sie liefert dieselben Lösungen wie die Formel mit der Diskriminante.
Löst der Rechner Gleichungen höheren Grades?
Nein. Gleichungen höheren Grades (x³ und höher) und nichtlineare Systeme löst der Rechner nicht.
Nachprüfbar
Quellen und Stand
- KMK: Bildungsstandards für das Fach Mathematik, Erster und Mittlerer Schulabschluss (i. d. F. vom 23.06.2022). www.kmk.org
- KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (Beschluss vom 18.10.2012). www.kmk.org
Änderungsprotokoll
- Werte und Quellen geprüft, Seite im neuen Layout veröffentlicht.