Matrizenrechner
Der Matrizenrechner addiert, subtrahiert und multipliziert Matrizen bis 6 × 6. Er berechnet Transponierte, Determinante, Inverse und Rang sowie Eigenwerte und Eigenvektoren von 2 × 2 und 3 × 3 Matrizen.
- Kostenlos
- Ohne Anmeldung
- Mit Rechenweg
- Quellen genannt
Ergebnis
Tragen Sie Ihre Werte ein, das Ergebnis erscheint hier.
Rechenweg anzeigen
Anleitung
So nutzen Sie den Rechner
- Wählen Sie die Rechnung und die Größe der Matrizen.
- Tragen Sie die Einträge ein (Komma oder Punkt als Dezimaltrennzeichen).
- Sie sehen das Ergebnis. Bei der Determinante von 2 × 2 und 3 × 3 Matrizen zeigt der Rechner den Rechenweg.
Formel und Rechenweg
So rechnet der Rechner
| Rechnung | Voraussetzung | Methode |
|---|---|---|
| A + B, A − B | gleiche Zeilen- und Spaltenzahl | eintragsweise |
| A · B | Spalten von A = Zeilen von B | Zeile mal Spalte |
| Transponierte | keine | Zeilen werden zu Spalten |
| Determinante | quadratisch | 2 × 2: a·d − b·c; 3 × 3: Regel von Sarrus; größer: Gauß-Elimination |
| Inverse | quadratisch, Determinante ≠ 0 | Gauß-Jordan-Verfahren |
| Rang | keine | Anzahl der Pivotzeilen nach Gauß-Elimination |
| Eigenwerte | quadratisch, 2 × 2 oder 3 × 3 | Nullstellen des charakteristischen Polynoms det(A − λE) = 0 |
| Eigenvektoren | wie Eigenwerte | Lösungen von (A − λE) · v = 0 |
Eigenvektoren werden so skaliert, dass der betragskleinste Eintrag ±1 ist. Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist ebenfalls ein Eigenvektor.
Zahlen zum Vergleichen
Beispiele und Richtwerte
Determinante 2 × 2: A = [[1, 2], [3, 4]] det = 1 · 4 − 2 · 3 = −2
Inverse: Die Inverse von [[1, 2], [3, 4]] ist [[−2, 1], [1,5, −0,5]].
Produkt: [[1, 2], [3, 4]] · [[5, 6], [7, 8]] = [[19, 22], [43, 50]]
Determinante 3 × 3 mit Sarrus: A = [[2, −3, 1], [2, 0, −1], [1, 4, 5]] ergibt 49.
Eigenwerte und Eigenvektoren: A = [[2, 1], [1, 2]] Eigenwerte 3 und 1, Eigenvektoren (1, 1) und (−1, 1).
Eigenwerte 3 × 3: A = [[2, 0, 0], [0, 3, 4], [0, 4, 9]] Eigenwerte 11, 2 und 1 mit den Eigenvektoren (0, 1, 2), (1, 0, 0) und (0, −2, 1).
Gut zu wissen
Regeln, Grenzen und Begriffe
- Matrizen bis 6 × 6, Einträge bis 1.000.000.000 mit bis zu vier Nachkommastellen.
- Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet der Rechner für 2 × 2 und 3 × 3 Matrizen. Komplexe Eigenwerte werden angezeigt, zu ihnen aber keine Eigenvektoren.
- Ist die Determinante 0, gibt es keine Inverse. Der Rechner meldet das.
- Werte unter 10⁻¹⁰ werden als 0 behandelt, kleine Rundungsreste der Computerarithmetik werden bereinigt.
Glossar
- Determinante
- Eine Kennzahl einer quadratischen Matrix, die zeigt, ob sie umkehrbar ist.
- Inverse
- Die Matrix, die mit der ursprünglichen Matrix multipliziert die Einheitsmatrix ergibt.
- Rang
- Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen einer Matrix.
- Eigenwert
- Ein Wert λ, für den ein Vektor von der Matrix nur gestreckt wird.
- Transponierte
- Die Matrix, bei der Zeilen und Spalten vertauscht sind.
Fragen und Antworten
Häufige Fragen
Wann kann man zwei Matrizen multiplizieren?
Wenn die Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenzahl der zweiten ist. Das Ergebnis hat die Zeilen der ersten und die Spalten der zweiten Matrix.
Was sagt die Determinante aus?
Ist sie 0, ist die Matrix nicht invertierbar und das zugehörige Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar.
Was ist ein Eigenwert?
Eine Zahl λ, für die es einen Vektor v ≠ 0 gibt mit A · v = λ · v. Die Matrix streckt diesen Vektor nur, sie dreht ihn nicht.
Ist A · B gleich B · A?
Im Allgemeinen nicht. Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ.
Wann gibt es keine Inverse?
Ist die Determinante 0, gibt es keine Inverse. Der Rechner meldet das.
Nachprüfbar
Quellen und Stand
- KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (Beschluss vom 18.10.2012). www.kmk.org
- MIT OpenCourseWare: 18.06 Linear Algebra (Gilbert Strang). ocw.mit.edu
Änderungsprotokoll
- Werte und Quellen geprüft, Seite im neuen Layout veröffentlicht.