ggT- und kgV-Rechner
Der Rechner bestimmt den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei bis zehn ganzen Zahlen. Er zeigt die Primfaktorzerlegung jeder Zahl und bei zwei Zahlen den euklidischen Algorithmus.
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Anleitung
So nutzen Sie den Rechner
- Geben Sie zwei bis zehn ganze Zahlen größer als 0 ein, getrennt durch Leerzeichen oder Semikolon.
- Der Rechner zeigt ggT, kgV, die Primfaktorzerlegungen und bei zwei Zahlen die Schritte des euklidischen Algorithmus.
Formel und Rechenweg
So rechnet der Rechner
- ggT: die größte Zahl, durch die alle eingegebenen Zahlen ohne Rest teilbar sind.
- kgV: die kleinste Zahl, die durch alle eingegebenen Zahlen ohne Rest teilbar ist.
Euklidischer Algorithmus: Man teilt die größere Zahl durch die kleinere und rechnet mit dem Divisor und dem Rest weiter, bis der Rest 0 ist. Der letzte Divisor ist der ggT.
kgV: Für zwei Zahlen gilt kgV(a, b) = a · b / ggT(a, b). Bei mehr Zahlen rechnet der Rechner schrittweise.
Primfaktorzerlegung: Der ggT ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren mit dem kleinsten Exponenten, das kgV das Produkt aller Primfaktoren mit dem größten Exponenten.
Zahlen zum Vergleichen
Beispiele und Richtwerte
ggT(48, 180) mit dem euklidischen Algorithmus:
180 = 3 · 48 + 36 48 = 1 · 36 + 12 36 = 3 · 12 + 0
Der ggT ist 12. Das kgV ist 48 · 180 / 12 = 720.
Mit Primfaktoren: 48 = 2⁴ · 3 und 180 = 2² · 3² · 5. ggT = 2² · 3 = 12, kgV = 2⁴ · 3² · 5 = 720.
Drei Zahlen: ggT(12, 18, 30) = 6, kgV(12, 18, 30) = 180.
Gut zu wissen
Regeln, Grenzen und Begriffe
- Erlaubt sind ganze Zahlen von 1 bis 999.999.999.
- Haben zwei Zahlen den ggT 1, heißen sie teilerfremd, zum Beispiel 17 und 5.
- Wird das kgV so groß, dass es nicht mehr exakt darstellbar ist, meldet der Rechner das, statt ein ungenaues Ergebnis zu zeigen.
Glossar
- ggT
- Der größte gemeinsame Teiler mehrerer Zahlen.
- kgV
- Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen.
- Teilerfremd
- Zwei Zahlen mit dem ggT 1, zum Beispiel 17 und 5.
- Euklidischer Algorithmus
- Das Verfahren, das den ggT durch wiederholte Division mit Rest bestimmt.
- Primfaktorzerlegung
- Die Darstellung einer Zahl als Produkt von Primzahlen.
Fragen und Antworten
Häufige Fragen
Wofür brauche ich ggT und kgV?
Den ggT zum Kürzen von Brüchen, das kgV zum Gleichnamigmachen. Beides erledigt auch der Bruchrechner.
Wie berechne ich das kgV von zwei Zahlen schnell?
Produkt der beiden Zahlen geteilt durch ihren ggT. Für 4 und 6: 24 / 2 = 12.
Woher kommt der euklidische Algorithmus?
Er steht in den Elementen des Euklid (Buch VII, Proposition 2), dort als wiederholtes Abziehen der kleineren von der größeren Zahl.
Wann sind zwei Zahlen teilerfremd?
Wenn ihr ggT 1 ist, zum Beispiel bei 17 und 5.
Nachprüfbar
Quellen und Stand
- Euklid, Elemente, Buch VII, Proposition 2 (Bestimmung des größten gemeinsamen Maßes), Online-Ausgabe von D. E. Joyce, Clark University. mathcs.clarku.edu
Änderungsprotokoll
- Werte und Quellen geprüft, Seite im neuen Layout veröffentlicht.